CauchyIntegral

例題次の関数を示された閉曲線に沿って積分せよ．．

$\displaystyle \frac{1}{z^2 + 1}, C:$ $\displaystyle \mbox{原点を中心とし，半径$r > 1$の円周}$

解答曲線 $C$ は原点を中心とする半径 $r > 1$ の円周であるので， $f(z) = \frac{1}{z^2 + 1}$ はこの円内で正則ではない．そこで， $f(z) = \frac{1}{z^2 + 1}$ を部分分数分解すると

$\displaystyle \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{(z+i)(z-i)} = \frac{1}{2i}[\frac{1}{z-i} - \frac{1}{z+i}]$

ここで，積分の基本公式

$\displaystyle \int_{\vert z-a\vert=r}\frac{1}{(z-a)^{n}} = \left\{\begin{array}{ll} 2\pi i & n = 1\\ 0 & n \neq 1 \end{array}\right.$

を用いると

$\displaystyle \int_{\vert z\vert = r}\frac{1}{z^2 + 1}\ dz$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2i}[\int_{\vert z\vert=r}\frac{1}{z-1}\ dz - \int_{\vert z\vert=r}\frac{1}{z-1}\ dz$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2i}[2\pi i - 2\pi i] = 0$