TrigIntegral

例題次の関数の積分を求めよ．

$\displaystyle \int \sin^{3}{x}\cos^{3}{x} dx$

解答三角関数の積分は必ず有理関数に直せることに注意する．

1.	和の積分は積分の和． $\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
2.	定数倍の積分は定数かける積分． $\int (\alpha f(x))dx = \alpha \int f(x)$
3.	置換積分法． $\int f(x)dx = \int f(\Phi(t))(\Phi(t))'dt$
4.	部分積分法. $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$
5.	部分分数分解． $\frac{3x+2}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
6.	基本的な積分公式． $\int e^{x}dx = e^{x} + c, \int \sin{x} = -\cos{x}+c, \int \frac{1}{x}dx = \log\vert x\vert + c$

この積分は $\sin^{3}{x}\cos^{3}{x}$ を

$\displaystyle \sin^{3}{x}\cos^{2}{x} \cos{x} = \sin^{3}{x}(1 - \sin^{2}{x})\cos{x}$

と書き換えると， $\sin{x}$ の有理関数と $\cos{x}$ の積となります．そこで， $\sin{x} = t$ とおくことにより $dt = \cos{x} dx$ となり， $t$

の有理関数に帰着することができます．よって

$\displaystyle \int \sin^{3}{x}\cos^{3}{x} dx$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int \sin^{3}{x}(1 - \sin^{2}{x})\cos{x} dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int t^{3}(1 - t^{2})dt = \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{6}}{6} + c$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\sin^{4}{x}}{4} - \frac{\sin^{6}{x}}{6} + c$