Taylor

例題次のMacLaurin展開が成り立つことをしめせ．

$\displaystyle \log(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} + \cdots , \ (-1 < x \leq 1))$

解答関数 $f(x)$ が無限回微分可能だとします．このとき，関数 $f(x)$ を多項式で近似することを考えます．つまり，

$\displaystyle f(x) \approx a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 + a_{3}x^3 + \cdots + a_{n}x^{n}$

もし， $f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 + a_{3}x^3 + \cdots + a_{n}x^{n}$ だとすると， $f(0) = a_{0}$ となります．また，

$\displaystyle f'(x) = a_{1} + 2a_{2}x + 3a_{3}x^2 + \cdots + na_{n}x^{n-1}$

より， $f'(0) = a_{1}$ となります．同様にして， $f''(0) = 2a_{2}$ , $f'''(0) = 3! a_{3} ,\ldots f^{(n)}(0) = n!a_{n}$ となります．これより，

$\displaystyle f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

しかし，これでは等式が成り立ちません．なぜならば，左辺は $f^{(n+1)}(0)$ は0でないのに，右辺は0です．そこで，等式が成り立つように，右辺に剰余項とよばれる誤差を加えます．こうやってできたものが関数 $f(x)$

のMacLaurin展開と呼ばれるものです．

$\displaystyle f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + R_{n}$

ただし， $R_{n} = \frac{f^{(n)}(\theta)}{n!}x^{n} \rightarrow 0\ (n \to \infty)$ , $0 < \theta < 1$

$f(x) = \log(1+x)$ とおくと， $f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$ . これより， $f''(x) = -(1+x)^{-2}, f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$ . 帰納法で $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ となる．最後に $\lim_{n \to \infty} \vert R_{n}\vert = 0$ を示せばよい．

$\displaystyle \vert R_{n}\vert$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert\frac{f^{(n)}(\theta)}{n!}x^{n}\vert = \vert\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!(1+\theta)^{-n}}{n!}x^n\vert$
	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \vert\frac{x^n}{n(1+x)^{n}}\vert \rightarrow 0 \ (n \to \infty)$

この文書について...