例題 次の曲面上の点 $(1,1,\frac{\pi}{4})$における接平面と法線を求めよ．

$$z = \tan^{-1}\frac{y}{x}$$

解答 点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ を通り法線ベクトルが $(f_{x}(x_{0},y_{0}), f_{y}(x_{0},y_{0}), -1)$であたえられる平面を考えます．このとき，平面上の任意の点$(x,y,z)$と点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$が作るベクトルと法線ベクトルは直交します．したがって，

$$(x - x_{0},y-y_{0},z-f(x_{0},y_{0})) \cdot (f_{x}(x_{0},y_{0}), f_{y}(x_{0},y_{0}), -1) = 0$$

これより，平面の方程式は，

$$z - f(x_{0},y_{0}) = (f_{x}(x_{0},y_{0}), f_{y}(x_{0},y_{0})) \cdot (x-x_{0},y-y_{0})$$

または，

$$z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$$

これを上記の問題に当てはめると，

$$f_{x}(x,y) = \frac{-\frac{y}{x^2}}{1+(\frac{y}{x})^2} = \frac{-y}{x^2 + y^2}$$

$$f_{y}(x,y) = \frac{\frac{1}{x}}{1+(\frac{y}{x})^2} = \frac{x}{x^2 + y^2}$$

$f(1,1) = \tan^{-1}{1} = \frac{\pi}{4}$ これより，求める接平面は

$$z = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}(x-1) + \frac{1}{2}(y-1)$$

別解 $f(x,y,z) = \tan^{-1}{\frac{y}{x}} - z = 0$とおくと

$$\nabla f(x,y,z) = (\frac{\frac{-y}{x}}{1 + (\frac{y}{x})^2}, \fra... ...x}}{1 + (\frac{y}{x})^2}, -1) = (\frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, -1)$$

よって

$$\nabla f(1,1,\frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1)$$

ここで，$\nabla f$は曲面 $f(x,y,z) = 0$に直交するので，接平面$\Gamma$上に任意の点$(x,y,z)$を取ると，ベクトル $(x - 1, y - 1, z - \frac{\pi}{4})$と $\nabla f(1,1,\frac{\pi}{4})$は直交する．よって，接平面の方程式は

$$(x - 1, y - 1, z - \frac{\pi}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1) = 0$$

又は，

$$-\frac{1}{2}(x-1) + \frac{1}{2}(y-1) - (z - \frac{\pi}{4}) = 0$$

法線は$\nabla f$と同方向にあるので，法線上に任意の点$(x,y,z)$を取ると，

$$(x - 1, y - 1, z - \frac{\pi}{4}) = t(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1)$$

又は，

$$t = \frac{x-1}{-\frac{1}{2}} = \frac{y-1}{\frac{1}{2}} = \frac{z - \frac{\pi}{4}}{-1}$$