例題 次の曲線上の与えられた$a$に対応する点における接線の方程式を求めよ．

$$\displaystyle{f(x) = x^{2} - 5x + 3, a = 2}$$

解答 曲線の点$a$における接線の傾きは$f'(a)$である．そこで，上記の曲線の接線の傾きを求めると

$$f'(2) = 2*2 - 5 = -1$$

直線は傾き$m$と直線が通る１点$(a,f(a))$が分かれば $y = m(x-a) + f(a)$で決まる．そこで，接線の通る点を求めると

$$f(2) = 4 -10+3 = -3$$

これより，求める接線の方程式は

$$y = -(x-2) -3 = -x -1$$

なお，上記の曲線の法線を求めるには，接線の傾き$m$と法線の傾き$m'$の間に，$mm' = -1$が成り立つことが分かればよい，傾き$m$の直線をベクトル$(1,m)$と表すと，法線の傾き$m'$は$(1,m')$と表せる．そして，この２つのベクトルは直交することよりその内積は0である．したがって， $(1,m)\cdot (1,m') = 1 + mm' = 0$. これより，$mm' = -1$となる．

これより，求める法線の方程式は

$$y = (x-2)-3 = x-5$$