TangentLine

例題次の曲線上の与えられた $a$

に対応する点における接線の方程式を求めよ．

$\displaystyle \displaystyle{f(x) = x^{2} - 5x + 3, a = 2}$

解答曲線の点 $a$ における接線の傾きは $f'(a)$ である．そこで，上記の曲線の接線の傾きを求めると

$\displaystyle f'(2) = 2*2 - 5 = -1$

直線は傾き

と直線が通る１点

が分かれば

で決まる．そこで，接線の通る点を求めると

$\displaystyle f(2) = 4 -10+3 = -3$

これより，求める接線の方程式は

$\displaystyle y = -(x-2) -3 = -x -1$

なお，上記の曲線の法線を求めるには，接線の傾き $m$ と法線の傾き $m'$ の間に， $mm' = -1$ が成り立つことが分かればよい，傾き $m$ の直線をベクトル $(1,m)$ と表すと，法線の傾き $m'$ は $(1,m')$ と表せる．そして，この２つのベクトルは直交することよりその内積は0である．したがって， $(1,m)\cdot (1,m') = 1 + mm' = 0$ . これより， $mm' = -1$ となる．

これより，求める法線の方程式は

$\displaystyle y = (x-2)-3 = x-5$

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