例題 次の積分順序の交換をせよ．

$$\iint_{\Omega}x^2 dxdy, \ \Omega: -1 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 3$$

解答

$$\Omega = \{(x,y) : -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3\}$$

よりV-simpleを用いると, 縦方向に微小な長方形$dy$を描き，$\Omega$を埋めていくと，まず，$y$軸方向への積分を行い，その後で$x$軸方向への積分となる．したがって，

$$\iint_{\Omega} x^2 dxdy = \int_{x=-1}^{1}(\int_{y=0}^{3}x^2 dy)dx$$

$$= \int_{-1}^{1}(\left[x^2 y \right]_{y=0}^{3})dx = \int_{-1}^{1}3x^2 dx$$

$$= [x^3]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$$

H-simpleを用いると横方向に微小な長方形$dx$を描き，$\Omega$を埋めていくと，まず，$x$軸方向への積分を行い，その後で$y$軸方向への積分となる．したがって，

$$\iint_{\Omega} x^2 dxdy = \int_{y=0}^{3}(\int_{x=-1}^{1}x^2 dx)dy$$

$$= \int_{0}^{3}(\left[\frac{x^3}{3} \right]_{x=-1}^{1})dy = \int_{0}^{3}\frac{2}{3} dy$$

$$= [\frac{2}{3}y]_{0}^{3} = 2-0 = 2$$

このように，H-simpleからV-simple　または　V-simple から H-simpleと積分を行うことを積分順序の交換という．