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例題 次の関数の偏導関数 $f_{x}, f_{y}$を求めよ．

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$

解答 $x$についての偏導関数$f_{x}$は$x$以外の変数を定数とおいて，$x$で微分することで求まる．同様に，$y$についての偏導関数$f_{y}$は$y$以外の変数を定数とおいて，$y$で微分することで求まる.


$\displaystyle f_{x}(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}}\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$  
$\displaystyle f_{y}(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}}\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial y}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2y) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$