LimSeq

例題次の数列の極限を求めよ．

$\displaystyle \displaystyle{\{a_{n}\} = \{\frac{3n^2 - 5n}{5n^2 + 2n - 6}\}}$

解答極限値を求めるうえで重要なことは，つぎのことである．

1. 和の極限値は極限値の和はである． $\lim_{n \to \infty}(a_{n} + b_{n}) = \lim_{n \to \infty}a_{n} + \lim_{n \to \infty}b_{n}$
2. 定数倍の極限値は極限値の定数倍である． $\lim_{n \to \infty}(\alpha a_{n}) = \alpha \lim_{n \to \infty} a_{n}$
3. $\lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n} = \lim_{n \to \infty}a_{n} \lim_{n \to \infty}b_{n}$
4. $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to \infty}a_{n}}{\lim_{n \to \infty}b_{n}}$ . ただし， $\lim_{n \to \infty}b_{n} \neq 0$
5. 基本的な数列の極限値. $\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^{n} = e$

これを上記の問題に当てはめるとまず， $n \rightarrow \infty$ のとき， $\displaystyle{3n^2 - 5n = n^2 (3 - \frac{5}{n})}$ $\longrightarrow \infty$ ，また $5n^2 + 2n - 6 =$ $\displaystyle{n^2 (5 + \frac{2}{n} - \frac{6}{n^2}) \longrightarrow \infty}$ となります．そこで分子と分母から最高次数の項をくくりだすと

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3n^2 - 5n}{5n^2 + 2n - 6} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{3 - 5/n}{5 + 3/n - 6/n^2} = \frac{3}{5}$

となります．

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