LimFct

例題次の関数の極限値を求めよ．．

$\displaystyle \displaystyle{\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}}$

解答極限値を求めるうえで重要なことは，つぎのことである．

1. 和の極限値は極限値の和はである． $\lim_{x \to a}(f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)$
2. 定数倍の極限値は極限値の定数倍である． $\lim_{x \to a}(\alpha f(x)) = \alpha \lim_{x \to a} f(x)$
3. $\lim_{x \to a}f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \lim_{x \to a}g(x)$
4. $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$ . ただし， $\lim_{x \to a}g(x) \neq 0$
5. 基本的な関数の極限値. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x} = 1$

これを上記の問題に当てはめるとまず， $x \to 2$ のとき， $x^2 - 3x +2 \to 0$ ．また $x^2 - 4 \to 0$ ．つまり，分子，分母とも $x - 2$ を共通因子に持っていることが分かります．そこで $x \neq 2$ のとき，分子，分母から $x - 2$ をくくりだすと

$\displaystyle \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x -1}{x + 2}$

と表せます．したがって，

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2}\frac{x-1}{x + 2} = \frac{1}{4}$

となります．

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