Example 次の極限値を求めよ.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x} - x\cos{x}}{\sin{x} - x} $

Answer $2$つの関数 $f(x),g(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能とする. $f(a) = g(a) = 0$ で,しかも

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a + 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = l $

が存在するならば,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} = l $

である.

これは $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ の形の不定形です.そこで,分母,分子を別々に微分し,その商の極限値を求めると,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\sin{x}}{\cos{x} - 1} $

これも $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ の形の不定形です.そこでもう一度,分母,分子を別々に微分し,その商の極限値を求めると,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x} + x\cos{x}}{-\sin{x}} $

これもまた, $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ の形の不定形です.そこでもう一度,分母,分子を別々に微分し,その商の極限値を求めると,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\cos{x} - x\sin{x}}{-\cos{x}} = \frac{2}{-1} = -2 $

したがって,L'Hospitalの定理を順に使うことにより,

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x} - x\cos{x}}{\sin{x} - x} = -2 $

となります.