L'HospitalRule

Example 次の極限値を求めよ.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x} - x\cos{x}}{\sin{x} - x}$

Answer $2$ つの関数 $f(x)，g(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続，開区間 $(a,b)$ で微分可能とする． $f(a) = g(a) = 0$ で，しかも

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a + 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = l$

が存在するならば，

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a + 0} \frac{f(x)}{g(x)} = l$

である．

これは $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ の形の不定形です．そこで，分母，分子を別々に微分し，その商の極限値を求めると，

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\sin{x}}{\cos{x} - 1}$

これも $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ の形の不定形です．そこでもう一度，分母，分子を別々に微分し，その商の極限値を求めると，

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x} + x\cos{x}}{-\sin{x}}$

これもまた， $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ の形の不定形です．そこでもう一度，分母，分子を別々に微分し，その商の極限値を求めると，

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\cos{x} - x\sin{x}}{-\cos{x}} = \frac{2}{-1} = -2$

したがって，L'Hospitalの定理を順に使うことにより，

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x} - x\cos{x}}{\sin{x} - x} = -2$

となります．