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例題次の関数の積分を求めよ．

$\displaystyle \int \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx$

解答関数の積分を求めるうえで重要なことは，つぎのことである．

1.	和の積分は積分の和． $\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
2.	定数倍の積分は定数かける積分． $\int (\alpha f(x))dx = \alpha \int f(x)$
3.	置換積分法． $\int f(x)dx = \int f(\Phi(t))(\Phi(t))'dt$
4.	部分積分法. $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$
5.	基本的な積分公式． $\int e^{x}dx = e^{x} + c, \int \sin{x} = -\cos{x}+c, \int \frac{1}{x}dx = \log\vert x\vert + c$

この問題では，与えられた被積分関数 $\frac{2x + 1}{x^2 + x}$ を周知の積分の形に変形します．その方法として， $t = x^2 + x$ とおくと， $dt = (2x+1)dx$ となり， $\int \frac{1}{t}dt$ という形になります．

		$\displaystyle \int \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx　\ \left(\begin{array}{ll} t = x^2 + x\\ dt = (2x+1)dx \end{array}\right.$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int \frac{1}{t}dt = \log\vert t\vert + c$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \log\vert x^2 + x\vert + c$