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例題次の関数の積分を求めよ．

$\displaystyle \int \log{x} dx$

解答関数の積分を求めるうえで重要なことは，つぎのことである．

1.	和の積分は積分の和． $\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
2.	定数倍の積分は定数かける積分． $\int (\alpha f(x))dx = \alpha \int f(x)$
3.	置換積分法． $\int f(x)dx = \int f(\Phi(t))(\Phi(t))'dt$
4.	部分積分法. $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$
5.	部分分数分解． $\frac{3x+2}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
6.	基本的な積分公式． $\int e^{x}dx = e^{x} + c, \int \sin{x} = -\cos{x}+c, \int \frac{1}{x}dx = \log\vert x\vert + c$

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} u = \log{x}, & dv = dxとおくと\\ du = \frac{1}{x}dx, & v = \int dv = \int dx = x + c \end{array} \end{displaymath}$

よって

$\displaystyle \int \underbrace{\log{x}}_{u} \underbrace{dx}_{dv}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \underbrace{(x + c)}_{v} \underbrace{\log{x}}_{u} - \int \underbrace{(x + c)}_{v} \underbrace{\frac{1}{x} dx}_{du}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x \log{x} + c\log{x} - x - c\log{x} + c$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x \log{x} - x + c$

これより， $v = \int dv$ を求めるときは任意の定数 $c$

を無視できます