例題 次の関数の積分を求めよ．

$$\int{\frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}}\ dx$$

解答 関数の積分を求めるうえで重要なことは，つぎのことである．

1.	和の積分は積分の和． $\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
2.	定数倍の積分は定数かける積分． $\int (\alpha f(x))dx = \alpha \int f(x)$
3.	置換積分法． $\int f(x)dx = \int f(\Phi(t))(\Phi(t))'dt$
4.	部分積分法. $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$
5.	部分分数分解． $\frac{3x+2}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
6.	基本的な積分公式． $\int e^{x}dx = e^{x} + c, \int \sin{x} = -\cos{x}+c, \int \frac{1}{x}dx = \log\vert x\vert + c$

部分分数分解では，分母は必ず因数分解した形に直す．

$$\frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)} = \frac{x^2 + 1}{x(x+1)(x-1)}$$

分母の次数の数だけ，部分分数を作る．つまり，この場合分母の次数は3なので，3個の部分分数が必要となる．また，部分分数の分子の次数は分母の次数引く１とする， したがって，

$$\frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)} = \frac{x^2 + 1}{x(x+1)(x-1)}$$

$$= \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-1}$$

ここで，両辺に $x(x+1)(x-1)$をかけると，

$$x^2 + 1 = A(x+1)(x-1) + Bx(x-1) + Cx(x+1)$$

このとき，$x = 0$とおくと，左辺は1で右辺は$A(-1)$となる．これより，$A = -1$. 同様にして，$B,C$が求まる．

部分分数分解の式において，$A$を求める別の方法を紹介する． 両辺に$A$の分母$x$をかけると，

$$\frac{x^2 + 1}{x(x+1)(x-1)}x = A + \frac{B}{x+1}x + \frac{C}{x-1}x$$

ここで，$x \to 0$をとると， $-1 = A + 0 + 0$. したがって，$A = -1$. この方法で$B$を求める．

$$B = \lim_{x \to -1} \frac{x^2+1}{x(x+1)(x-1)}(x+1) = \frac{2}{2} = 1$$

$$C = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x(x+1)(x-1)}(x-1) = \frac{2}{2} = 1$$

したがって，

$$\int \frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}dx = \int \frac{-1}{x}dx + \int \frac{1}{x+1}dx + \int \frac{1}{x-1}dx$$

$$= -\log\vert x\vert + \log\vert x+1\vert + \log\vert x-1\vert + c$$