IntegByPartFrac

例題次の関数の積分を求めよ．

$\displaystyle \int{\frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}}\ dx$

解答関数の積分を求めるうえで重要なことは，つぎのことである．

1.	和の積分は積分の和． $\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
2.	定数倍の積分は定数かける積分． $\int (\alpha f(x))dx = \alpha \int f(x)$
3.	置換積分法． $\int f(x)dx = \int f(\Phi(t))(\Phi(t))'dt$
4.	部分積分法. $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$
5.	部分分数分解． $\frac{3x+2}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
6.	基本的な積分公式． $\int e^{x}dx = e^{x} + c, \int \sin{x} = -\cos{x}+c, \int \frac{1}{x}dx = \log\vert x\vert + c$

部分分数分解では，分母は必ず因数分解した形に直す．

$\displaystyle \frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)} = \frac{x^2 + 1}{x(x+1)(x-1)}$

分母の次数の数だけ，部分分数を作る．つまり，この場合分母の次数は3なので，3個の部分分数が必要となる．また，部分分数の分子の次数は分母の次数引く１とする，したがって，

$\displaystyle \frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{x^2 + 1}{x(x+1)(x-1)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-1}$

ここで，両辺に

をかけると，

$\displaystyle x^2 + 1 = A(x+1)(x-1) + Bx(x-1) + Cx(x+1)$

このとき，

とおくと，左辺は1で右辺は $A(-1)$

となる．これより，

. 同様にして，

が求まる．

部分分数分解の式において， $A$ を求める別の方法を紹介する．両辺に $A$ の分母 $x$ をかけると，

$\displaystyle \frac{x^2 + 1}{x(x+1)(x-1)}x = A + \frac{B}{x+1}x + \frac{C}{x-1}x$

ここで， $x \to 0$ をとると， $-1 = A + 0 + 0$

. したがって，

. この方法で

を求める．

$\displaystyle B = \lim_{x \to -1} \frac{x^2+1}{x(x+1)(x-1)}(x+1) = \frac{2}{2} = 1$

$\displaystyle C = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x(x+1)(x-1)}(x-1) = \frac{2}{2} = 1$

したがって，

$\displaystyle \int \frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}dx$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int \frac{-1}{x}dx + \int \frac{1}{x+1}dx + \int \frac{1}{x-1}dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\log\vert x\vert + \log\vert x+1\vert + \log\vert x-1\vert + c$