DiffInvTrig

例題次の関数の導関数を求めよ．．

$\displaystyle \displaystyle{y = \sin^{-1}{2x}+ \tan^{-1}{3x}}$

解答導関数を求めるうえで重要なことは，つぎのことである．

1.	和の導関数は導関数の和である．
2.	定数倍の導関数は導関数の定数倍である． $(\alpha f(x))' = \alpha f'(x)$
3.	積の微分法．
4.	商の微分法. $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
5.	逆関数の導関数. $y = f^{-1}{x} \Leftrightarrow x = f(y) \Leftrightarrow 1 = \frac{df(y)}{dx}$
	$= \frac{df(y)}{dy}\frac{dy}{dx}$ .
	$y = \sin^{-1}{x} \Leftrightarrow x = \sin{y} \Leftrightarrow 1 = \frac{d(\sin{y})}{dx} \Leftrightarrow 1 = \cos{y}\frac{dy}{dx}$
	$\Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $(\cos{y} = \sqrt{1 - \sin^{2}{y}})$
6.	基本的な関数の導関数. $(\tan{x})' = \sec^{2}{x}, (\sec{x})' = \sec{x}\tan{x}$

これを上記の問題に当てはめると

$\displaystyle (\sin^{-1}{2x} + \tan^{-1}{3x})'$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\sin^{-1}{2x})' + (\tan^{-1}{3x})'$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} + \frac{3}{1+9x^2}$

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