ChangeOfVariables

例題変数変換を用いて次の積分を計算せよ．

$\displaystyle \iint_{\Omega}xydxdy, \Omega = \{x^2 + y^2 \leq 1, x,y \geq 0\}$

解答

図: 変換前と変換後
$\includegraphics[width=8cm]{CALCFIG/Fig7-3-1.eps}$

極座標変換を用いると， $0 \leq x^2 + y^2 = r^2 \leq 1$ ，また， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta} \geq 0$ より $\displaystyle{0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}}$ ．よって $\Omega$ は

$\displaystyle \Gamma = \{(r,\theta) : 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \}$

にうつる．したがって，

$\displaystyle \iint_{\Omega}xydxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \iint_{\Gamma}r^3\cos{\theta}\sin{\theta}drd{\theta}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{1}r^{3}dr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}\cos{\thet... ...cdot \left[\frac{\sin^{2}{\theta}}{2}\right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8}$

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